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LA  PARÁBOLA

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco y de una recta fija del mismo plano llamada directriz.

La parábola es una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del mismo, oblicuo a su eje y paralelo a una generatriz g de la superficie cónica.

El foco y la directriz determinan cómo va a ser la apariencia de la parábola (en el sentido de que “parecerá” más o menos abierta según sea la distancia entre F y la directriz). Todas las parábolas son semejantes. Su excentricidad es 1 en todos los casos. Solamente varía la escala.

Una de las aplicaciones físicas más importantes de la parábola es el movimiento parabólico. Este movimiento se caracteriza porque una partícula o cuerpo sólido lanzado en un campo gravitatorio recorre una trayectoria parabólica.

Una aplicación práctica de la parábola son las antenas parabólicas, en las que todas las rectas paralelas al eje de la parábola se reflejan en el foco de la misma. (Empleado en óptica, antenas de transmisión de radiofrecuencia, estufas domésticas parabólicas, captación de energía solar, etc.)

Elementos de una parábola

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Los elementos de la parábola son:

• Foco: el foco F es el punto fijo. Los puntos de la parábola equidistan del foco y la directriz.
• Directriz: es la recta fija D. Los puntos de la parábola equidistan de la directriz y el foco.
• Radio vector: es el segmento R que une el foco con cada uno de los puntos de la parábola. Es igual al segmento perpendicular a la directriz desde el punto correspondiente.
• Eje: es la recta E perpendicular a la directriz que pasa por el foco y el vértice. Es el eje de simetría de la parábola.

• Parámetro: es el vector p, que va desde el foco al punto más próximo de la directriz.
  Es importante el signo del parámetro. En las parábolas verticales, cuando el parámetro es positivo la parábola se abre hacia arriba. Cuando pes negativo, la parábola se abre hacia abajo. Igualmente, en las parábolas horizontales, cuando p es positivo, se abre hacia la derecha y cuando p es negativo, la parábola se abre a la izquierda.
• Vértice: es el punto V de la intersección del eje y la parábola.
• Distancia focal: distancia entre el foco F y el vértice V. Es igual a p/2.
• Puntos interiores y exteriores: la parábola divide el plano en dos regiones. Los puntos que están en la región del foco se llaman puntos interiores (I), mientras que los otros son los exteriores (J).
• Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de la parábola.
• Cuerda focal: una cuerda que pasa por el foco F.
• Lado recto: Cuerda focal paralela a la directriz D y, por tanto, perpendicular al eje E. Su longitud es dos veces el parámetro (2p, pues se ven en la figura dos cuadrados unidos iguales de lado p).

Excentricidad de la parábola

La parábola es la única de las cónicas cuya excentricidad es siempre 1.

Veamos la figura.

Por la misma definición de parábola, su excentricidad siempre es la unidad. De esto deriva que todas las parábolas sean semejantes, variando su apariencia de cerradas o abiertas, según la escala.

Ecuación de la parábola

La ecuación de la parábola depende de si el eje es vertical u horizontal. Si el eje es vertical, la y será la variable dependiente. Si el eje es horizontal, será x la variable dependiente.

Ecuación canónica o reducida de la parábola

Consideremos una parábola cuyo eje es el eje de ordenadas, su vértice es el centro de coordenadas V (0, 0) y que está en la parte positiva de las x. En este caso, el foco estará necesariamente en F (p/2,0) . La ecuación de la recta directriz D será x = –p/2.

Los radios vectores FP y PM, correspondientes a cualquier punto P de la parábola (que, por definición, son iguales) tendrán la longitud:

Operando y simplificando, obtenemos la ecuación canónica o reducida de la parábola referida a esta configuración:

Si se desplaza paralelamente el eje E al eje de ordenadas y el vértice de la parábola se lleva al punto V (xV,yV), la ecuación de esta parábola ahora será la que se muestra en la imagen. También se muestra la ecuación de la recta directriz D.

Ecuación canónica o reducida de la parábola, pero ahora con su eje coincidente con el eje de las abscisas, su vértice es el centro de coordenadas V (0,0) y que está en la parte positiva de las y.

Si se desplaza paralelamente el eje E al eje de las abscisas y el vértice de la parábola se lleva al punto V (xV,yV), la ecuación de esta parábola ahora será la que se muestra en la imagen.

Análogamente, vemos las expresiones de la ecuación canónica o reducida para las parábolas con ejes coincidentes con el eje de ordenadas o con el eje de abscisas, siempre con el vértice en el origen O (0,0), pero ahora con valores negativos de las x y de las y respectivamente. Se muestra en las dos imágenes siguientes:

Y la segunda:

Otras ecuaciones de la parábola

La ecuación de la parábola con vértice V (x_V,y_V) y el eje vertical paralelo al eje OY es:

En la que las constantes tienen el siguiente valor:

Donde a ≠ 0 y b y c son números reales.

Lo vemos en la imagen:

La constante a indica lo “abierta” que es la parábola. Cuando el valor de a es menor, la parábola aparecerá más abierta. Dicho de otra manera, la parábola aparecerá más abierta cuando el parámetro p sea mayor. Si la constante a es positiva, el vértice V será el mínimo de la parábola, es decir, se abre hacia arriba. Si la constante a es negativa, el vértice Vserá máximo de la parábola, o sea, que se abre hacia abajo.

La ecuación de la parábola con vértice V (x_V,y_V) y el eje horizontal paralelo al eje OX es:

En la que las constantes tienen el siguiente valor:

La constante a indica lo “abierta” que es la parábola. Cuando el valor de a es menor, la parábola aparecerá más abierta. Dicho de otra manera, la parábola aparecerá más abierta cuando el parámetro p sea mayor. Si la constante a es positiva, la parábola se abre hacia la derecha. Si la constante a es negativa, la parábola se abre hacia la izquierda.

Ecuación general de la parábola

Los casos anteriores donde el eje es vertical u horizontal, son casos particulares de la ecuación general de la parábola.

Veamos casos de parábolas en los que sus ejes no son verticales ni horizontales. Es el caso de la parábola inclinada o parábola oblicua.

En estos cuatro casos su ecuación tiene todos los términos de la ecuación general de la parábola.

Se puede comprobar que en las cuatro parábolas se cumplen las dos condiciones de la ecuación general de la parábola, es decir que B² – 4AC = 0 y que A y C no son nulos al mismo tiempo

APLICACIONES DE LA VIDA COTIDIANA

HIPÉRBOLA

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de distancias (d₁ y d₂) a dos puntos fijos llamados focos (F₁ y F₂) es constante.

El valor de esa constante es la distancia entre los vértices V₁ y V₂ de la hipérbola (2a).

La hipérbola también se puede definir como una cónica, siendo la intersección del conocon un plano que no pase por su vértice y que forme un ángulo con el eje del cono menor que el ángulo que forma con el eje generatriz g del cono.

Elementos de la hipérbola

Los elementos de la hipérbola son:

• Focos: son los dos puntos fijos (F₁ y F₂).
• Radio vector: es la distancia R de un punto de la hipérbola (P) a cualquiera de los focos.
• Eje focal: es el eje de simetría E que une a los dos focos. También se llama eje transverso.
• Eje no transverso: es la mediatriz T del eje focal.
• Centro: es el punto medio O de los dos focos. También se puede definir como la intersección del eje focal y el transverso.
• Vértices: son los dos puntos de intersección del eje focal con la hipérbola (V₁ y V₂).

• Distancia focal: es la distancia 2c entre focos. También se denota como F₁F₂.
• Eje real: es es la distancia 2a entre vértices.
• Eje imaginario: es la distancia 2b de los puntos B₁ y B₂. Los puntos B₁ y B₂se generan como vemos en las relaciones entre semiejes.
  Así pues, existe una relación entre los semiejes y la distancia focal:
  
  
• Asíntotas: son las líneas rectas (A₁ y A₂) que se aproximan a la hipérbola en el infinito.
• Puntos interiores y exteriores: la hipérbola divide el plano en tres regiones. Dos regiones que contienen un foco cada una y otra región sin ningún foco. Los puntos contenidos en las regiones con un foco se llaman interiores (I) y los otros exteriores (Ex).
• Tangentes de la hipérbola: sobre cada punto P_i de ambas ramas de la misma. Cada tangente es la bisectriz de los dos radios vectores del punto P_i.

• Circunferencia principal (CP): su radio r=a y su centro en O. Es el lugar geométrico de las proyecciones de un foco sobre las tangentes.
• Directrices de la hipérbola: son dos rectas paralelas al eje transverso (D₁ y D₂). Su distancia a cada una es a/e (ees la excentricidad de la hipérbola). Pasan por las intersecciones de la circunferencia principal con las asíntotas (A₁ y A₂).

Hipérbola equilátera

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La hipérbola equilátera es la que tiene sus asíntotas (A₁ y A₂) perpendiculares entre sí, o, dicho de otra manera, cuando forman un ángulo con cada eje de 45º.

Relación entre semiejes de la hipérbola

Las semiejes de la hipérbola (a y b) se relacionan con la distancia focal (c) por la siguiente fórmula:

Geométricamente podemos encontrar los puntos B₁ y B₂. Para ello, se trazan las rectas tangentes a la hipérbola en los vértices V₁ y V₂. Las dos tangentes cortarán en las asíntotas en cuatro puntos. Unimos los segmentos dos a dos siendo de longitud 2a y perpendicular al eje no transverso. Los dos puntos producto de la intersección de los dos segmentos y el eje no transverso serán B₁ y B₂. Siendo O=(o₁,o₂) el centro de la hipérbola, tendremos que B₁=(o₁,o₂+b) y B₂=(o₁,o₂-b).

De esta forma, se podría calcular el semieje imaginario (b) a partir del semieje real (a) y la semidistancia focal (c):

Ecuación de la hipérbola

La ecuación de la hipérbola se puede expresar cuando su centro es O=(o₁,o₂) como:

Si la hipérbola tiene su centro en el origen, O=(0,0), su ecuación es:

Además, los puntos de una hipérbola son los que cumplen la ecuación general de la hipérbola:

siendo A, B, C, D y E escalares (números reales) y necesariamente debe cumplir que los coeficientes de x² e y² (A y C) son no nulos y tienen diferente signo.

APLICACIONES  EN LA VIDA COTIDIANA